Lengdir, flatarmál og rúmmál

Dæmi 10. Efra stig 1991-92

Tveir hringir í sléttu hafa sama geisla og miðpunktur hvors hrings liggur á hinum hringnum. Ef geislinn er jafn 1, þá er flatarmál svæðisins sem er innan í báðum hringunum jafnt:

Lausn

Látum $A$ og $B$ tákna miðpunkta hringanna og $C$ vera annan skurðpunkta þeirra. Þá er þríhyrningurinn $ABC$ jafnhliða því allar hliðar hans eru geislar hringanna. Táknum flatarmál hringgeirans sem hornið $\angle ABC$ spannar með $F_{AC}$ og flatarmál hringgeirans sem hornið $\angle BAC$ spannar með $F_{BC}$. Þar sem þríhyrningurinn $ABC$ er jafnarma er $F_{AC}=F_{BC}$ sjöttihluti flatarmáls hvors hrings eða $\frac{\pi}{6}$. Flatarmál þríhyrningsins $ABC$ er $\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{4}$. Þá er flatarmálið sem er innaní báðum hringunum $4\cdot \frac{\pi}{6}-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Dæmi 18 Efra stig 1997-1998

Gefinn er kúptur fimmhyrningur $ABCDE$. Hann er svo þaninn út og búinn til nýr fimmhyrningur $A’B’C’D’E’$. Horn þess nýja eru jafnstór hornum þess gamla, og samsvarandi hliðar í þeim gamla og þeim nýja eru samsíða og fjarlægð á milli þeirra er í öllum tilvikum $4$. Sýnið að ummál fimmhyrningsins $A’B’C’D’E’$ er að minnsta kosti $8\pi$ stærra en ummál upphaflega fimmhyrningsins $ABCDE$.

Lausn

Látum $a, b, c, d, e$ vera eins og sýnt er á myndinni. Þá er $a=|AB|$, $b=|BC|$, $c=|CD|$, $d=|DE|$ og $e=|EA|$ þar sem um er að ræða samsíða hliðar í rétthyrningum. Það sem eftir er af ummáli fimmhyrningsins má nálga með fimm hringbogum eins og sýnt er á myndinni. (Sú nálgun gefur þó minni tölu en hið raunverulega ummál rétthyrningsins.) Þegar þessum fimm hringbogum er skeytt saman fæst hringur með geisla 4 og ummál hans er því $8\pi$. Höfum því að ummál stóra fimmhyrningsins er minna en $a+b+c+d+e+8\pi$, en $a+b+c+d+e$ er einmitt ummál minni fimmhyrningsins og því mismunur ummálanna minni en $8\pi$.

Dæmi 15 Efra stig 1997-1998

Punktur $P$ er valinn innan í þríhyrningnum $A B C$. Í gegnum $P$ eru dregnar línur samsíða hliðum þríhyrningsins. Þá myndast þrír minni þríhyrningar, sem hafa flatarmál $4$, $9$ og $49$. Hvert er flatarmál stóra þríhyrningsins $ABC$?

Lausn

Lausn: Látum $D$ og $E$ vera skurðpunkta línanna gegnum $P$ við $AB$ og $F$ og $G$ vera skurðpunkta hliðanna $A C$ og $BC$ við línuna gegnum $P$ sem er samsíða $A B$. Á myndinni eru þrjú pör af samsíða línum. Af því má álykta að litlu þríhyrningarnir þrír og sá stóri eru allir einslaga. Einnig má álykta að strikin $FP$ og $AD$ séu jafn löng, og sömu leiðis $P G$ og $E B$ (því mótlægar hliðar í samsíðungi eru jafn langar). Látum $x$ tákna lengd $F P$ og $A D$, og $y$ tákna lengd $P G$ og $E B$, og $z$ tákna lengd $DE$. Athugum nú, að ef hlutfall samsvarandi hliða tveggja einslaga þríhyrninga er $k$, þá er hlutfall flatarmála þeirra $k^2$ (sbr. dæmi 10). Því fæst $\left(\frac{y}{x} \right)^2=\frac{9}{4}$ svo að $\frac{y}{x}=\frac{3}{2}$ og $\left(\frac{z}{x} \right)^2=\frac{49}{4}$ svo að $\frac{z}{x}=\frac{7}{2}$. Lengd $A B$ er $x+y+z$ og $$\frac{x+y+z}{x}=1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}=1+\frac{3}{2}+\frac{7}{2}=6.$$ Því eru hliðar þríhyrningsins $A B C$ sexfalt lengri en samsvarandi hliðar þess minnsta, og flatarmál $A B C$ því 36 sinnum stærra, eða $36\cdot 4=144$.

Dæmi 7 Efra stig 1997-1998

Við búum til spíral með því að skeyta saman hálfhringum. Byrjum með hálfhring með þvermál $2$, næst tökum við hálfhring með þvermál $3$, þar á eftir hálfhring með þvermál $4$, o.s.frv. (sjá mynd). Hvað er spírallinn langur þegar við höfum skeytt saman $100$ hálfhringum?

Lausn

Svar: $ 2575 \pi $

Lausn: Geisli hrings með þvermálið $n$ er $\frac{n}{2}$ og ummálið er því $2\cdot \frac{n}{2}\cdot \pi = n\cdot \pi$. Lengd boga hálfhrings með þvermál $n$ er jafnt hálfu ummáli hrings með sama þvermál, svo lengd hálfhringsins er $\frac{n}{2}\cdot \pi$. Við byrjum á hálfhring með þvermál $2$ og endum á hálfhring með þvermálið $101$. Lengd spíralsins er samanlögð lengd allra hálfhringanna, og er jöfn \[ \frac{\pi}{2}\cdot (2+3+\cdots + 101) = \frac{\pi}{2}\frac{100\cdot(2 + 101)}{2}=2575\pi \]

Dæmi 4 Efra stig 1997-1998

Rétthyrningi er skipt í 4 minni rétthyrninga með tveimur strikum sem eru samsíða hliðum rétthyrningsins (sjá mynd). Ummál þriggja þeirra eru gefin á myndinni. Hvert er ummál fjórða rétthyrningsins?

Lausn

Svar: 4

Lausn: Ummál upphaflega rétthyrningsins er greinilega jafnt samanlögðu ummáli hvors sem er af rétthyrningapörunum sem eru við gagnstæð horn. Því er ummál stóra rétthyrningsins jafnt $2 + 3 = 5 c m$. Samanlagt ummál rétthyrningsins í efra horninu til hægri og þess rétthyrnings sem spurt er um er því $5 c m$. Ummál rétthyrningsins sem spurt er um er því $5-1 = 4 c m $.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 10. Efra stig 1991-92

Dæmi 18 Efra stig 1997-1998

Dæmi 15 Efra stig 1997-1998

Dæmi 7 Efra stig 1997-1998

Dæmi 4 Efra stig 1997-1998

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK