(a) Eftirfarandi myndaruna sýnir hvernig þetta er gert (ef þorskurinn snýr upp sýnum við það með hvítum hring en svörtum ef risinn snýr upp):

Á mynd (a) er beitt aðgerð (1) á hring I til að fá mynd (b). Á mynd (b) er beitt aðgerð (2) á hring II til að fá mynd (c). Á mynd (c) er beitt aðgerð (1) á hring II til að fá mynd (d). Á mynd (d) er beitt aðgerð (2) á hring III til að fá mynd (e). Á mynd (e) er beitt aðgerð (1) á hring III til að fá mynd (f).

(b) Við sýnum: Í hverri stöðu sem upp getur komið er að minnsta kosti einn hringur með sléttum fjölda risa. Þar með getur sú staða að risinn snúi aðeins upp á krónunni á svæði $A$ ekki komið upp.

Í upphafi eru $0$ risar í öllum hringunum svo þeir innihalda allir sléttan fjölda af risum. Eftir að við höfum gert nokkrar aðgerðir skulum við gera ráð fyrir því að minnsta kosti einn hringur hafi sléttan fjölda risa í reitum sínum. Án takmörkunar getum við gert ráð fyrir að það sé hringur I. Ef aðgerð (2) er framkvæmd í næsta skrefi, þá fæst hringur með $0$ risa. Ef aðgerð (1) er framkvæmd á hring I, þar sem $0$, $2$ eða $4$ risar snúa upp, þá snúa $4-0=4$, $4-2=2$ eða $4-4=0$ risar upp eftir aðgerðina. Ef aðgerð (1) er framkvæmd á hring II eða III, en með því að skipta hugsanlega um nöfn á hringum II og III getum við gert ráð fyrir að það sé hringur II, þá gildir eitt af tvennu: (i) Ef krónurnar tvær sem liggja í báðum hringunum I og II snúa mismunandi, þá gera þær það áfram eftir að aðgerðin hefur verið framkvæmd og því hefur fjöldi risa í hring I ekki breyst. (ii) Ef krónurnar tvær sem liggja í báðum hringunum I og II snúa eins, þá annaðhvort fjölgar eða fækkar risunum í hring I um tvo og því áfram slétt tala.

Við höfum þá séð að það er alltaf til hringur sem hefur sléttan fjölda af risum og því getur það aldrei gerst að risinn snúi aðeins upp á krónunni í svæði $A$.

Fyrst er vert að minnast á tvö atriði varðandi hvernig á að skilja þetta dæmi. Fyrst er það spurningin um hvað á að gera við einstafs tölur, til dæmis töluna $5$. Eru tölstafir hennar í vaxandi röð? Þarna kemur fram munur á stærðfræðilegri málnotkun og venjulegri málnotkun. Margir mundu segja að það væri út í hött að segja að einn tölustafur myndaði vaxandi röð, en í stærðfræðilegri málnotkun er það ekkert óeðlilegt. Einnig kemur upp sú spurning hvort talan $0$ er náttúruleg tala. Hér er það hreint smekksatriði hvað menn segja og ekkert allsherjar samkomulag til. Það hvaða afstöðu menn tóku til þessara spurninga hafði ekki áhrif á stigagjöf fyrir dæmið. Lausnin hér miðast við að eins stafs tölur eru taldar með en $0$ ekki.

Lausn 1: Skoðum rununa $123456789$. Sérhverja tölu sem hefur tölustafi sína í strangt vaxandi röð má fá út úr þessari runu með því að taka burt einhverja tölustafi. Þá sjáum við til dæmis, að fjöldi fimm stafa talna sem hafa tölustafi sína í strangt vaxandi röð er jafn fjölda möguleika á því að taka burt fjóra stafi, eða jafn $9\choose4$. Til að fá heildarfjöldann þá verðum við að reikna út $${\begin{pmatrix}9\\ 0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}9\\ 1\end{pmatrix}}+\cdots+{\begin{pmatrix}9\\ 8\end{pmatrix}}.$$ Það má nota ýmsar leiðir til að sjá út að þessi tala er $511$. Það má jafnvel reikna þetta beint, en til gamans sýnum við hér aðra leið til að fá svarið. Við notum tvíliðuregluna sem segir að $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n {\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}} a^kb^{n-k}.$$ Þá er $${\begin{pmatrix}9\\ 0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}9\\ 1\end{pmatrix}}+\cdots+{\begin{pmatrix}9\\ 9\end{pmatrix}}=(1+1)^9=2^9=512,$$ og þar sem við sleppum síðasta liðnum, það er $\begin{pmatrix}9\\ 9\end{pmatrix}$, þá fáum við $511$.

Lausn 2: Annað hvort kemur tala í rununni $123456789$ fyrir í tölu sem hefur tölustafi sína í strangt vaxandi röð eða ekki. Fyrir hverja tölu eru því tveir möguleikar, annaðhvort er talan með eða ekki. Við teljum ekki með þann möguleika að engin tala sé með og svarið við dæminu er því $2^9-1=511$.

Látum $P$ vera snerti-punkt striksins $MN $ við hringinn. Þá eru þríhyrningarnir $M O A$ og $M O P$ greinilega eins (þeir eru báðir rétthyrndir, hafa sameiginlega langhlið og skammhliðarnar $O A$ og $O P$ eru jafn langar). Sér í lagi eru hornin $\angle M O A$ og $\angle M O P$ jafn stór. Á sama hátt sést að hornin $\angle N O C$ og $\angle N O P$ eru jafn stór. Hornið $\angle M O N$ er því helmingur hornsins $\angle A O C$. Í ferhyrningnum $A B C O$ eru hornin við $A$ og $C$ rétt og hornið við $B$ er $50^\circ$ svo hornið við $O$ er $130^\circ$. Því er hornið $\angle M O N = 65^\circ$.

(a) Við byrjum á að athuga að $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^\circ$ og einnig að $\cos(120^\circ)=-\frac{1}{2}$. Við beitum kósinusreglunni á þríhyrningana $A B P$, $B C P$ og $C A P$ og fáum $$ \begin{aligned} |AB|^2&=|PA|^2+|PB|^2-2\cdot|PA|\cdot|PB|\cdot\cos(120^\circ)\\ &=4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\cdot(\textstyle-\frac{1}{2})=28,\\ |BC|^2&=|PB|^2+|PC|^2-2\cdot|PB|\cdot|PC|\cdot\cos(120^\circ)\\ &=2^2+1^2-2\cdot2\cdot1\cdot(\textstyle-\frac{1}{2})=7,\\ |CA|^2&=|PC|^2+|PA|^2-2\cdot|PC|\cdot|PA|\cdot\cos(120^\circ)\\ &=1^2+4^2-2\cdot1\cdot4\cdot(\textstyle-\frac{1}{2})=21. \end{aligned} $$ Þá er $|BC|^2+|CA|^2=7+21=28=|AB|^2$, sem sýnir að $\angle ACB=90^\circ$. (Minnumst þess að regla Pýþagorasar segir ekki aðeins að summa ferninga skammhliðanna í rétthyrndum þríhyrningi sé jöfn ferningi langhliðarinnar, heldur einnig að ef svo er, þá sé þríhyrningurinn rétthyrndur.)

(b) Látum $\alpha=\angle APB=\angle BPC$ og $x=\cos\alpha$. Þá er $\angle CPA=360^\circ-2\alpha$ og því $$\cos(\angle CPA)=\cos(360^\circ-2\alpha)=\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1=2x^2-1.$$ Samkvæmt kósínusreglu er $$ \begin{aligned} |AB|^2&=|PA|^2+|PB|^2-2\cdot|PA|\cdot|PB|\cdot\cos(\alpha)=20-16x,\\ |BC|^2&=|PB|^2+|PC|^2-2\cdot|PB|\cdot|PC|\cdot\cos(\alpha)=5-4x,\\ |CA|^2&=|PC|^2+|PA|^2-2\cdot|PC|\cdot|PA|\cdot\cos(2\alpha) =17-8\cdot(2x^2-1)\\&=25-16x^2. \end{aligned} $$ Þar sem $\angle ACB=90^\circ$, þá er $|AB|^2=|BC|^2+|CA|^2$ og því $$ (5-4x)+(25-16x^2)=20-16x $$ það er $8x^2-6x-5=0$. Þessi jafna hefur ræturnar $x=-\frac{1}{2}$ og $x=\frac{5}{4}$. Einungis hin fyrri kemur til greina því $x=\cos\alpha \leq 1$, svo að $\cos\alpha=-\frac{1}{2}$ og því $\alpha=120^\circ$. Þar með er $\angle CPA=360^\circ-2\cdot120^\circ=120^\circ$.

Önnur lausn

Við tökum eftir að þríhyrningarnir $APB$ og $BPC$ eru einslaga því $|AP|=2|BP|$, $|BP|=2|PC|$ og $\angle APB=\angle BPC$. Því er $|AB|=2|BC|$.

(a) Nú er $$ \begin{aligned} \angle ABC&=\angle ABP+\angle PBC=\angle ABP+\angle PAB\\&=180^\circ-\angle APB=180^\circ-120\deg=60^\circ.\end{aligned} $$ Við sjáum því að ef $M$ er miðpunktur $AB$, þá er $MBC$ jafnhliða þríhyrningur og því $|MC|=|MB|$. Þá liggur $C$ á hringnum með miðstreng $AB$ og því er $\angle ACB=90^\circ$ því hornið $\angle ACB$ spannar miðstreng í hringnum.

(b) Þar sem $\angle ACB=90\deg$, þá er $|BC|=|AB|\cos\angle ABC$. En við höfum þegar tekið eftir að $|AB|=2|BC|$ svo $\cos\angle ABC=\frac{1}{2}$ og því $\angle ABC=60^\circ$. Þá er $$ 60^\circ=\angle ABC=\angle ABP+\angle PBC=\angle ABP+\angle PAB=180^\circ-\angle APB$$ svo að $\angle BPC=\angle APB=120^\circ$ og því $\angle CPA=360^\circ-2\cdot 120^\circ=120^\circ$.