Tvívíð rúmfræði

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1993-94

Gefið er strik $A B$, hringur með miðju $A$ sem liggur gegnum $B$ og annar hringur með miðju $B$ sem liggur gegnum $A$. Ferningurinn $C D E F$ hefur tvo hornpunkta sína á strikinu $AB$ og hina tvo hvorn á sínum hringnum, eins og myndin sýnir. Reiknið hliðarlengd hans ef lengd $|A B|=1$.

Lausn

Táknum hliðarlengd ferningsins með $x$. Lítum á rétthyrnda þríhyrninginn $B C F$. Við höfum að $|B C|=x+\frac{1}{2}(1-x)=\frac{1}{2}(1+x)$, $|C F|=x$ og $|F B|=1$. Regla Pýþagorasar gefur þá að $$\frac{1}{4}(x+1)^2+x^2=1$$ og því er $5x^2+2x-3=0$. En $5x^2+2x-3=(5x-3)(x+1)$ svo að $x=\frac{3}{5}$ því $x \gt 0$.

Dæmi 11. Efra stig 1993-94

Á myndinni eru $A$, $B$ og $C$ snerti-punktar. Punkturinn $C$ er á helmingalínu hornsins $\angle A D B$ og línurnar gegnum $C$ og $D$ eru samsíða. Hver er lengdin $x$?

Lausn

Látum $O$ vera miðpunkt hringsins. Þegar við framlengjum strikin $D A$ og $D B$ skera þau línuna gegnum $C$ í $P$ og $Q$. Nú er $O$ á helmingalínu hornsins $\angle A D B$ því $O$ er í sömu fjarlægð frá örmum þess. Punktarnir $D$, $O$ og $C$ eru því allir á sömu línunni. Þar sem $C$ er snertipunktur línunnar gegnum $P$ og $Q$ við hringinn, þá er $O C$ hornrétt á $P Q$ og því $C D$ hæðin á $P Q$ sem hefur lengdina $x+4$. Höfum nú að þríhyrningarnir $D C P$ og $D C Q$ eru einslaga og því þríhyrningurinn $P Q D$ jafnhliða. Þríhyrningarnir $O P Q$, $O D P$ og $O D Q$ hafa allir flatarmálið $$ \frac{1}{2}\cdot |P Q|\cdot |O C|=\frac{1}{2}\cdot 2y\cdot \frac{3}{2}=\frac{3y}{2} $$ þar sem $y$ er hálf hliðarlengd þríhyrningsins $D P Q$. Flatarmál $D P Q$ sem er $\frac{1}{2}\cdot 2y\cdot (x+4)=(x+4)y$ er jafnt samanlögðu flatarmáli $O P Q$, $O D P$ og $O D Q$ svo að $ 3\frac{3y}{2}=(x+4)y$ og því $x=\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$.

Dæmi 16. Neðra stig 1993-94

Jafnhliða þríhyrningur er innritaður í hring með geisla $1$. Hver er hæð þríhyrningsins?

Lausn

Látum $A$, $B$ og $C$ vera hornpunkta þríhyrningsins og $O$ vera miðpunkt umritaða hringsins. Látum $D$ vera fótpunkt hæðarinnar á $A B$. Látum $x$ vera hliðarlengd þríhyrningsins og $h$ vera hæð hans.

Lausn 1: Þar sem þríhyrningurinn er jafnarma, þá eru hæðirnar jafnframt miðlínur. Nú er það vel þekkt staðreynd að miðlínur í þríhyrningi skipta hver annarri í hlutföllunum $1:2$ og því er hæð þríhyrningsins $$|C D|=|C O|+|O D|=|C O|+\frac{1}{2}|C O|=\frac{3}{2}.$$

Lausn 2: Þríhyrningarnir $A B O$, $B C O$ og $A C O$ hafa allir sama flatarmálið $\frac{1}{2}x(h-1)$. Flatarmál þríhyrningsins $A B C$, sem er $\frac{1}{2}xh$ er jafnt samanlögðu flatarmáli þríhyrninganna $A B O$, $B C O$ og $A C O$ og því er $$\frac{1}{2}xh=3\cdot \frac{1}{2}x(h-1).$$ Við fáum þá að $h=3(h-1)$ og því er $h=\frac{3}{2}$.

Lausn 3: Þríhyrningarnir $A C D$ og $A O D$ eru rétthyrndir og regla Pýþagórasar gefur að $$ x^2=|A C|^2=|A D|^2+|C D|^2=\frac{1}{4}x^2+h^2$$ og $$ 1=|A O|^2=|A D|^2+|O D|^2=\frac{1}{4}x^2+(1-h)^2. $$ Samkvæmt fyrri jöfnunni er $x^2=\frac{4}{3}h^2$ og þegar við stingum inn í seinni jöfnuna fáum við að $$ 0=\frac{1}{3}h^2+(1-h)^2-1=\left(\frac{4}{3}h-2 \right)h $$ svo að $h=\frac{3}{2}$.

Lausn 4: Þríhyrningarnir $A O D$ og $C A D$ eru einslaga svo að $$ \frac{1}{h-1}=\frac{|A O|}{|O D|}=\frac{|A C|}{|A D|}=\frac{x}{\frac{1}{2}x}=2$$ og því $h=\frac{3}{2}$.

Dæmi 6. Neðra stig 1993-94

Á myndinni er fjarlægðin $A B$ jöfn $3\sqrt{5}$. Finnið fjarlægðina $AC$. (Allir ferningarnir hafa sömu hliðarlengd.)

Lausn

Látum $x$ vera hliðarlengd ferninganna. Samkvæmt reglu Pýþagorasar er þá $$ 3\sqrt{5}=|A B|=\sqrt{x^2+(2x)^2}=x\sqrt{5}$$ svo að $x=3$. Regla Pýþagorasar gefur þá að $$ |A C|=\sqrt{x^2+(3x)^2}=x\sqrt{10}=3\sqrt{10}.$$

Dæmi 9. Neðra stig 1993-94

Á myndinni er ferhyrningurinn $A B C D$ umritaður um hring. Gefið er að $|A B| = 4$, $|B C| = 5$ og $|C D| = 3$. Hvað er $|D A|$?

Lausn

Látum $P$, $Q$, $R$ og $S$ vera snertipunkta hringsins við hliðarnar $A B$, $B C$, $C D$ og $D A$. Við notfærum okkur nú þá staðreynd að ef armar horns snerta sama hringinn, þá er lengdin frá toppunkti hornsins að snertipunktunum sú sama. Af þessu leiðir að summa mótlægra hliða í ferhyrningnum $A B C D$ er sú sama, það er $|A B|+|C D|=|B C|+|D A|$. Þar með er $$ |D A|=|A B|+|C D|-|B C|=4+3-5=2.$$

Dæmi 2. Neðra stig 1993-94

Allar hliðar fimmhyrningsins á myndinni eru jafnlangar. Hver er stærð hornsins $\angle ABC$ í gráðum?

Lausn

Nú er $BCDE$ ferningur og því strikið $BE$ jafn langt hliðum fimmhyrningsins. Þá er þríhyrningurinn $ABE$ jafnhliða og því $$\angle ABC=\angle ABE+\angle EBC=60^\circ+90^\circ=150^\circ.$$

Dæmi 8. Efra stig 1992-93

Maur vill komast frá horni $A$ til horns $B$ á rétthyrndum kubbi með hliðarlengdir 2, 4 og 8, eins og sýnt er á myndinni. Hve löng er stysta leiðin sem hann getur farið?

Lausn

Fletjum kubbinn út eins og sýnt er á myndinni. Maurinn getur valið um hvort hann hefur gönguna í punktinum $A$ eða í punktinum $A\prime$. Stysta leiðin milli $A$ og $B$ er lengd striksins $A B$ eða $\sqrt{4^2+10^2}=\sqrt{116}$ sem er stærri en lengd striksins $A\prime B$ sem er $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$. Lengd stystu leiðar sem maurinn getur farið er því $10$.

Dæmi 1. Úrslitakeppni 1992-93

Myndin sýnir tvo hringa í planinu og þrjá sameiginlega snertla þeirra. Punktarnir $G$ og $H$ eru skurðpunktar, en punktarnir $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ og $F$ eru snertipunktar. Sýnið að strikin $GE$ og $FH$ eru jafnlöng.

Lausn

Lykillinn að lausn þessa dæmis er að ef við höfum punkt $P$ fyrir utan hring og drögum snertla við hringinn í gegnum $P$, þá eru strikin frá $P$ til snertipunktanna tveggja jafn löng. Þannig er til dæmis $|AG|=|GE|$. Ennfremur sjáum við að $|AB|=|CD|$. Þetta er bein afleiðing reglunnar hér að ofan ef línurnar $AB$ og $CD$ skerast en er einnig augljóst ef þær skerast ekki, því þá eru $AC$ og $BD$ miðstrengir í hringunum svo að $ABDC$ er rétthyrningur og því $|AB|=|CD|$. Nú fáum við að $$ \begin{aligned} |AB| &= |AG|+|GB|\\ &=|AG|+|GF|\\ &= |AG|+|GE|+|EF|\\ &= 2|GE|+|EF|. \end{aligned} $$ Á sama hátt fæst að $|CD|= 2|FH|+|EF|$. Þar sem $|AB|=|CD|$ fáum við þá að $|GE|=|FH|$.

Dæmi 20. Neðra stig 1992-93

Klukkan er á milli 7 og 7:30. Klukkuvísarnir mynda $84^\circ$ horn. Hvað er klukkan? (Nóg er að svarið sem þið gefið sé innan við 1 sekúndu frá réttu svari.)

Lausn

Meðan stóri vísirinn fer einn hring eða $360^\circ$, þá fer litli vísirinn einn tólfta úr hring eða $30^\circ$. Litli vísirinn færist þá alltaf einn tólfta af því sem stóri vísirinn færist um. Ef hornið milli vísanna er $84^\circ$ og stóri vísirinn hefur færst um $x$ gráður frá því klukkan 7:00:00, þá hefur litli vísirinn færst um $x/12$ gráður á sama tíma. Því er $210^\circ + x/12-x=84^\circ$ svo að $x=12\cdot 126^\circ/11$. Nú líða $60^2=3600$ sekúndur meðan stóri vísirinn fer heilan hring, eða $360^\circ$, svo það líða 10 sekúndur meðan hann fer eina gráðu. Það hafa því liðið $120\cdot 126/11=22\cdot 60+54+6/11$ sekúndur frá því klukkan 7:00:00, svo að klukkan er rétt tæplega 7:22:55.

Dæmi 22. Neðra stig 1992-93

Á myndinni eru $A B$, $M N$ og $B C$ snertlar við hringinn sem hefur miðju í $O$. Gefið er að $\angle A B C=50^\circ$. Ákvarðið $\angle M O N$.

Lausn

Látum $P$ vera snerti-punkt striksins $MN $ við hringinn. Þá eru þríhyrningarnir $M O A$ og $M O P$ greinilega eins (þeir eru báðir rétthyrndir, hafa sameiginlega langhlið og skammhliðarnar $O A$ og $O P$ eru jafn langar). Sér í lagi eru hornin $\angle M O A$ og $\angle M O P$ jafn stór. Á sama hátt sést að hornin $\angle N O C$ og $\angle N O P$ eru jafn stór. Hornið $\angle M O N$ er því helmingur hornsins $\angle A O C$. Í ferhyrningnum $A B C O$ eru hornin við $A$ og $C$ rétt og hornið við $B$ er $50^\circ$ svo hornið við $O$ er $130^\circ$. Því er hornið $\angle M O N = 65^\circ$.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 3. Úrslitakeppni 1993-94

Dæmi 11. Efra stig 1993-94

Dæmi 16. Neðra stig 1993-94

Dæmi 6. Neðra stig 1993-94

Dæmi 9. Neðra stig 1993-94

Dæmi 2. Neðra stig 1993-94

Dæmi 8. Efra stig 1992-93

Dæmi 1. Úrslitakeppni 1992-93

Dæmi 20. Neðra stig 1992-93

Dæmi 22. Neðra stig 1992-93

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK