Við byrjum á að setja eina mottu á miðjan blettinn. Síðan innritum við reglulegan sexhyrning innan í blettinn. Hliðar hans hafa allar lengdina 2 því hornalínur sexhyrningsins í gegnum miðju blettsins skipta honum í 6 eins jafnhliða þríhyrninga. Fyrir hverja hlið sexhyrningsins breiðum við svo eina mottu á gólfið þannig að miðja hennar lendi á miðpunkti hliðarinnar. Við sýnum nú að motturnar hylji blettinn.

Ef við getum sýnt fram á að mottan í miðjunni og mottan með miðju í punktinum $M$ hylji tilsvarandi geira, þá er ljóst að motturnar sjö hylja blettinn. Við lítum á þríhyrninginn $M P Q$ þar sem $P$ er annar endapunktur hliðar sexhyrningsins sem $M$ liggur á og $Q$ er miðpunktur striksins frá miðju blettsins að $P$. Þríhyrningurinn $MPQ$ er jafnhliða því að $|P Q|=1$, $|M P|=1$ og $\angle Q P M=60^\circ$. Þá er $|M Q|=1$ og þá er ljóst að allur geirinn er hulinn.

Nú er $9\cdot a b c d=10\cdot a b cd -a b c d=a b c d 0-a b c d$ svo jafnan $9\cdot a b c d=d c b a$ er jafngild jöfnunni $a b c d 0=a b c d+d c b a$.

Nú er summa tveggja talna í menginu ${0,1,\ldots,9}$ í mesta lagi 18 svo við þurfum í mesta lagi að geyma einn þegar við leggjum saman í einingasætinu. En þá er summan í tugasætinu mest 19 svo þar þurfum við einnig í mesta lagi að geyma einn og svo koll af kolli. Þar sem $a$ er geymdur þegar lagt er saman í þúsundasætinu sjáum við að $a=1$. Þegar við lítum á einingasætið sjáum við þá að $d=9$ og einn er geymdur svo $1+c+b$ er 9 eða 19 og þá $c+b$ jafnt $8$ eða $18$. En seinna tilfellið kemur ekki til greina því þá er nauðsynlega $b=9$ en þegar við lítum á þúsundasætin sjáum við að $b$ er annaðhvort 0 eða 1 eftir því hvort 1 er geymdur frá hundruðasætunum. Því er $c+b=8$ og þá er enginn geymdur yfir í hundruðasætið. Summan þar er því $b+c=c$ svo að $b=0$ og þá er $c=8$. Talan okkar er því $abcd=1089$ og sjálfsagt að prófa svarið með því að reikna $9\cdot 1089=9000+720+81=9801$.

Athugum að við getum búið til myndina með hliðarlengd $n$ út frá mynd með hliðarlengd $n-1$ með því að raða þríhyrningum sem eru búnir til úr þremur eldspýtum á hvern punkt á einni hliðinni sem hefur lengd $n-1$. Ef $a_n$ táknar fjölda eldspýta sem þarf til að búa til mynd með hliðarlengd $n$, þá er því $a_n=a_{n-1}+3(n-1)$. Fáum að $$ \begin{aligned} a_{10}&=a_9+3\cdot 9=a_8+3\cdot 8+3\cdot 9=\cdots=a_1+3\cdot (2+3+\cdot+10)\\ &=3\cdot (1+2+\cdots+10)=3\cdot 5\cdot 11=150+15=165. \end{aligned} $$

(a) Eftirfarandi myndaruna sýnir hvernig þetta er gert (ef þorskurinn snýr upp sýnum við það með hvítum hring en svörtum ef risinn snýr upp):

Á mynd (a) er beitt aðgerð (1) á hring I til að fá mynd (b). Á mynd (b) er beitt aðgerð (2) á hring II til að fá mynd (c). Á mynd (c) er beitt aðgerð (1) á hring II til að fá mynd (d). Á mynd (d) er beitt aðgerð (2) á hring III til að fá mynd (e). Á mynd (e) er beitt aðgerð (1) á hring III til að fá mynd (f).

(b) Við sýnum: Í hverri stöðu sem upp getur komið er að minnsta kosti einn hringur með sléttum fjölda risa. Þar með getur sú staða að risinn snúi aðeins upp á krónunni á svæði $A$ ekki komið upp.

Í upphafi eru $0$ risar í öllum hringunum svo þeir innihalda allir sléttan fjölda af risum. Eftir að við höfum gert nokkrar aðgerðir skulum við gera ráð fyrir því að minnsta kosti einn hringur hafi sléttan fjölda risa í reitum sínum. Án takmörkunar getum við gert ráð fyrir að það sé hringur I. Ef aðgerð (2) er framkvæmd í næsta skrefi, þá fæst hringur með $0$ risa. Ef aðgerð (1) er framkvæmd á hring I, þar sem $0$, $2$ eða $4$ risar snúa upp, þá snúa $4-0=4$, $4-2=2$ eða $4-4=0$ risar upp eftir aðgerðina. Ef aðgerð (1) er framkvæmd á hring II eða III, en með því að skipta hugsanlega um nöfn á hringum II og III getum við gert ráð fyrir að það sé hringur II, þá gildir eitt af tvennu: (i) Ef krónurnar tvær sem liggja í báðum hringunum I og II snúa mismunandi, þá gera þær það áfram eftir að aðgerðin hefur verið framkvæmd og því hefur fjöldi risa í hring I ekki breyst. (ii) Ef krónurnar tvær sem liggja í báðum hringunum I og II snúa eins, þá annaðhvort fjölgar eða fækkar risunum í hring I um tvo og því áfram slétt tala.

Við höfum þá séð að það er alltaf til hringur sem hefur sléttan fjölda af risum og því getur það aldrei gerst að risinn snúi aðeins upp á krónunni í svæði $A$.