E1 | stæ.is

Dæmi 18. Efra stig 1993-94

Látum $\alpha,\beta,\gamma$ tákna stærð hornanna í þríhyrningi og gerum ráð fyrir að $\beta = \frac{1}{2}(\alpha+\gamma)$. Reiknið $$ \frac{\sin(\alpha)+\sin(\beta)+\sin(\gamma)}{\cos(\alpha)+\cos(\beta)+\cos(\gamma)}. $$

Lausn

Nú er $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ og þar sem gefið er að $2\beta=\alpha+\gamma$ þá fæst að $2\beta=180^\circ-\beta$ og því $\beta=60^\circ$. Þá er $\alpha+\gamma=120^\circ$ og því $$ \begin{aligned} \cos(\gamma)&=\cos(120^\circ-\alpha)=\cos(120^\circ) \cos(\alpha)+\sin(120^\circ) \sin(\alpha)\\&=-\frac{1}{2}\cos(\alpha)+\frac{\sqrt3}{2}\sin(\alpha),\\ \sin(\gamma)&=\sin(120^\circ-\alpha)=\sin(120^\circ) \cos(\alpha)-\cos(120^\circ) \sin(\alpha)\\ &=\frac{\sqrt3}{2}\cos(\alpha)+\frac{1}{2}\sin(\alpha). \end{aligned} $$ Þá er $$ \begin{aligned} \frac{\sin(\alpha)+\sin(\beta)+\sin(\gamma)}{\cos(\alpha)+\cos(\beta)+\cos(\gamma)} &=\frac{\sin(\alpha)+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\alpha) +\frac{1}{2}\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(\alpha)+\frac{\sqrt3}{2}\sin(\alpha)}\\ &=\frac{3\sin(\alpha)+\sqrt{3}+\sqrt{3}\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)+1+\sqrt{3}\sin(\alpha)}\\ &=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}\sin(\alpha)+1+\cos(\alpha))}{\cos(\alpha)+1+\sqrt{3}\sin(\alpha)}\\ &=\sqrt{3} \end{aligned} $$

Dæmi 19. Efra stig 1993-94

Miðstreng $AC$ í hring er skipt í fjögur jafnlöng strik með $P$, $M$ og $Q$. Dregin er lína um $P$ sem sker hringinn í $B$ og $D$ þannig að $2|PD|=3|AP|$. Hvert er flatarmál ferhyrningsins $A B C D$ ef flatarmál þríhyrningsins $A B P$ er $1$?

Lausn

Hornin $\angle B A C$ og $\angle B D C$ eru jafn stór þar sem þau eru ferilhorn sem spanna sama boga. Einnig eru hornin $\angle A B D$ og $\angle A C D$ jafn stór af sömu ástæðu. Þríhyrningarnir $A B P$ og $D C P$ eru því einslaga. Þar sem $|P C|=3|A P|$ fæst þá að $$\frac{3|A P|}{|P B|}=\frac{|P C|}{|P B|}= \frac{|P D|}{|P A|}= \frac{\frac{3}{2}|A P|}{|A P|}=\frac{3}{2},$$ og því $|P B|=2|A P|$. Látum $K$ vera fótpunkt þverilsins á $A C$ í gegnum $B$ og $H$ fótpunkt þverilsins á $A C$ í gegnum $D$. Nú er $\angle H P D=\angle K P B$ og $\angle P H D=\angle P K B$ svo þríhyrningarnir $P H D$ og $P K B$ eru einslaga. Þá er $$\frac{|D H|}{|B K|}= \frac{|P D|}{|P B|}=\frac{\frac{3}{2}|A P|}{2|A P|}=\frac{3}{4}$$ svo að $|D K|=\frac{3}{4}|B H|$. Af því leiðir að $|A D P|=\frac{3}{4}|A B P|$ og þar sem einnig gildir að $|A B C|=4|A P B|$ og $|A D C|=4|A D P|$ fáum við að $$ |A B C D|=|A D C|+|A B C|=4|A D P|+4\cdot \frac{3}{4}|A B P|=7.$$

Dæmi 3. Efra stig 1993-94

Ritum $a * b$ í stað $a^{b}$. Þá er $\frac{2 * (2 * (2 * 2))}{((2 * 2) * 2) * 2}$ jafnt

Lausn

Þar sem $a * b=a^b$, þá er $$ \frac{2 * (2 * (2 * 2))}{((2 * 2) * 2) * 2}=\frac{2 * (2 * 4)}{(4 * 2) * 2} =\frac{2 * 16}{16 * 2}=\frac{2^{16}}{16^2}=\frac{2^{16}}{2^8}=2^8=256.$$

Dæmi 6. Efra stig 1993-94

Látum $Q$ vera mengið $$ Q = \{p/q\;|\; p,q\in {\mathbb{N}},\; 1\le p\le 10\;\text{og}\;1\le q\le 10\}. $$ Hversu mörg stök eru í Q? (Hér táknar $\mathbb{N}$ mengi náttúrlegra talna.)

Lausn

Hér virðist fátt annað til ráða en að skrifa öll stökin upp og telja þau svo. Í hverja línu í töflunni skrifum við aðeins þau stök sem ekki hafa þegar verið talin upp í línunum fyrir ofan.

$q$	Stök $Q$
$1$	$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$
$2$	$\frac{1}{2},\, \frac{3}{2},\, \frac{5}{2},\, \frac{7}{2},\, \frac{9}{2}$
$3$	$\frac{1}{3},\, \frac{2}{3},\, \frac{4}{3},\, \frac{5}{3},\, \frac{7}{3},\, \frac{8}{3},\, \frac{10}{3}$
$5$	$\frac{1}{5},\, \frac{2}{5},\, \frac{3}{5},\, \frac{4}{5},\, \frac{6}{5},\, \frac{7}{5},\, \frac{8}{5},\, \frac{9}{5}$
$7$	$\frac{1}{7},\, \frac{2}{7},\, \frac{3}{7},\, \frac{4}{7},\, \frac{5}{7},\, \frac{6}{7},\, \frac{8}{7},\, \frac{9}{7},\, \frac{10}{7}$
$4$	$\frac{1}{4},\, \frac{3}{4},\, \frac{5}{4},\, \frac{7}{4},\, \frac{9}{4}$
$8$	$\frac{1}{8},\, \frac{3}{8},\, \frac{5}{8},\, \frac{7}{8},\, \frac{9}{8}$
$9$	$\frac{1}{9},\, \frac{2}{9},\, \frac{4}{9},\, \frac{5}{9},\, \frac{7}{9},\, \frac{8}{9},\, \frac{10}{9}$
$6$	$\frac{1}{6},\, \frac{5}{6},\, \frac{7}{6}$
$10$	$\frac{1}{10},\, \frac{3}{10},\, \frac{7}{10},\, \frac{9}{10}$

Sjáum að þetta eru samtals $63$ stök.

Dæmi 7. Efra stig 1993-94

Myndin sýnir jafnhliða þríhyrning, sem er innritaður í ferning. Hvert er hlutfall flatarmáls jafnhliða þríhyrningsins og skyggða þríhyrningsins.

Lausn

Byrjum á að athuga að óskyggðu rétthyrndu þríhyrningarnir tveir á myndinni eru eins því þær hliðar sem eru sameiginlegar jafnhliða þríhyrningnum eru jafn langar og þær hliðar sem eru sameiginlegar ferningnum eru jafn langar. Því eru þriðju hliðar þeirra einnig jafn langar og því skyggða svæðið rétthyrndur jafnarma þríhyrningur. Látum $x$ vera lengd skammhliða hans og $y$ vera langhliðina, sem er jafnframt hliðarlengd jafnhliða þríhyrningsins. Þegar við beitum reglu Pýþagorasar á skyggða þríhyrninginn fáum við að $y^2=x^2+x^2=2x^2$. Þegar við beitum reglu Pýþagorasar á rétthyrnda þríhyrninginn sem við fáum þegar við drögum hæðina í jafnhliða þríhyrningnum fáum við að hæðin er jöfn $$\sqrt{y^2-\frac{1}{4}y^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}y.$$ Hlutfallið milli flatarmála jafnhliða þríhyrningsins og skyggða þríhyrningsins er þá $$ \frac{\frac{1}{2}y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}y}{\frac{1}{2}x^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{y^2}{x^2}=\sqrt{3}.$$

Dæmi 9. Efra stig 1993-94

Hvaða tölustafur er lengst til hægri í tölunni $2^{1994}-1993$?

Lausn

Tökum eftir að síðasti tölustafur $2^k$ er sá sami og síðasti tölustafur $2^j$ þar sem $j$ er afgangurinn þegar 4 er deilt í $k$. Nú fást $2$ í afgang þegar við deilum $4$ í $1994$ og því endar $2^{1994}$ á sama tölustaf og $2^2=4$. Þá endar $2^{1994}-1993$ á $4-3=1$.

Dæmi 10. Efra stig 1993-94

Sé fótstigi reiðhjóls snúið um einn hring þá færist reiðhjólið áfram um $6$ metra. Á fremra tannhjóli eru $40$ tennur og á því aftara $15$ tennur. Ef skipt er um tannhjól þannig að það fremra hafi $60$ tennur og það aftara $20$, hversu langt fer þá reiðhjólið ef fótstiginu er snúið einn hring?

Lausn

Þegar fótstiginu er snúið einn hring, þá snýst fremra tannhjólið um $40$ tennur. Aftara tannhjólið snýst þá einnig um $40$ tennur sem eru $\frac{40}{15}=2\frac{10}{15}=2\frac{2}{3}$ hringir. Hjólið fer þá áfram um $\frac{6}{2\frac{2}{3}}=\frac{3\cdot 6}{8}=\frac{9}{4}$ metra þegar aftara tannhjólið snýst einn hring. Þegar skipt hefur verið um tannhjól, þá snýst það fremra 60 tennur þegar fótstiginu er snúið einn hring og því einnig það aftara. En 60 tennur jafngilda $\frac{60}{20}=3$ snúningum og hjólið fer þá áfram um $3\cdot \frac{9}{4}=\frac{27}{4}=6\frac{3}{4}=\text{6,75}$ metra.

Dæmi 11. Neðra stig 1993-94

Verktaki segist ljúka ákveðnu verki á þremur dögum með tilteknum fjölda véla. Ef þremur vélum er bætt við lýkur verkinu á tveimur dögum. Hve marga daga þarf hann til þess að ljúka verkinu ef ein vél er notuð?

Lausn

Látum $x$ tákna fjölda véla sem verktakinn þarf til að ljúka verkinu á þremur dögum. Verkið er þá alls $3x$ vélardagsverk. En þegar hann bætir við 3 vélum, þá tekur verkið aðeins tvo daga, svo það er einnig $2(x+3)$ vélardagsverk og því $3x=2(x+3)$. Þá er $x=6$ og því verkið alls $3x=3\cdot 6=18$ vélardagsverk. Það tekur því eina vél $18$ daga að ljúka verkinu.

Dæmi 12. Neðra stig 1993-94

Hver er stuðullinn við $x^{50}$ þegar margfaldað er upp úr $$ (1+x+x^{2}+\cdots+x^{100})(1+x+x^{2}+\cdots+x^{25})? $$

Lausn

Fyrir hvern lið í seinni sviganum fáum við $x^{50}$ nákvæmlega einu sinni þegar við margföldum hann inn í fyrri svigann. Það eru $26$ liðir í seinni sviganum svo stuðullinn við $x^{50}$ er $26$.

Dæmi 3. Neðra stig 1993-94

Hverja myndanna er unnt að nota til að búa til kassann?

Lausn

Hvorug myndanna $A$ eða $B$ kemur til greina því rétthyrndu hliðarnar lenda hvor í annarri þegar þær eru brotnar saman. Mynd $C$ kemur ekki til greina þar sem toppurinn passar ekki. Þá er aðeins mynd $D$ eftir og fljótlegt er að sannfæra sig um að hægt er að brjóta hana saman og fá kassann á myndinni.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 18. Efra stig 1993-94

Dæmi 19. Efra stig 1993-94

Dæmi 3. Efra stig 1993-94

Dæmi 6. Efra stig 1993-94

Dæmi 7. Efra stig 1993-94

Dæmi 9. Efra stig 1993-94

Dæmi 10. Efra stig 1993-94

Dæmi 11. Neðra stig 1993-94

Dæmi 12. Neðra stig 1993-94

Dæmi 3. Neðra stig 1993-94

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK