N2 | stæ.is

Dæmi 15. Neðra stig 1994-95

Margfeldið $$\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right) \left(1-\frac{1}{4^2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{199^2}\right)\left(1-\frac{1}{200^2}\right)$$ er jafnt og

Lausn

Athugum að $$1-\frac{1}{n^2}=\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right) =\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n+1}{n}.$$ Því er margfeldið jafnt margfeldinu $$ \begin{aligned} &\frac{2-1}{2}\cdot\frac{2+1}{2}\cdot \frac{3-1}{3}\cdot \frac{3+1}{3}\cdots\frac{199-1}{199}\cdot\frac{199+1}{199}\cdot \frac{200-1}{200}\cdot \frac{200+1}{200}\\ =\;& \frac12\cdot\frac32\cdot\frac23\cdot\frac43\cdots\frac{198}{199}\cdot\frac{200}{199}\cdot\frac{199}{200}\cdot\frac{201}{200} =\frac{1}{2}\cdot \frac{201}{200}=\frac{201}{400}.\end{aligned} $$

Dæmi 11. Neðra stig 1994-95

Þríhyrningurinn $A B C$ er jafnhliða með hliðalengd 12. Ef $E$ er miðpunktur hæðarinnar $A D$ þá er lengd striksins $B E$ jöfn

Lausn

Við beitum reglu Pýþagorasar á þríhyrningana $B A D$ og $B E D$ og fáum að $$|A D|=\sqrt{|B A|^2-| B D|^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{108}$$ og $$|B E|=\sqrt{|B D|^2+|E D|^2}=\sqrt{6^2+27}=\sqrt{63}$$ því $|E D|=\frac{1}{2}|A D|=\sqrt{108/4}=\sqrt{27}$.

Dæmi 12. Neðra stig 1994-95

Ef $x^2=x+3$, þá er $x^3$ jafnt og

Lausn

Þar sem $x^2=x+3$, þá er $$ x^3=x\cdot x^2=x(x+3)=x^2+3x=(x+3)+3x=4x+3.$$

Dæmi 13. Neðra stig 1994-95

Ef það eru fimm sunnudagar í desember, þá gæti aðfangadagur verið á

Lausn

Í desembermánuði eru $31$ dagur en fjöldi daga milli fimm sunnudaga, að þeim báðum meðtöldum, er $29$. Því er einhver af síðustu þremur dögunum í mánuðnum sunnudagur og því ber $31$. desember upp á einhvern af dögunum sunnudag, mánudag eða þriðjudag. En aðfangadagur er nákvæmlega viku á undan $31$. desember svo aðfangadag ber einnig upp á sunnudag, mánudag eða þriðjudag. Af þeim valmöguleikum sem gefnir eru kemur því sunnudagur einn til greina.

Dæmi 14. Neðra stig 1994-95

Í þingflokki Bandalags framsækinna sjálfstæðra alþýðukvenna eru níu konur. Á vegum þingflokksins starfa ýmsar nefndir:

Fjárhagsnefnd: Anna, Jóhanna og María.
Sjávarútvegsnefnd: Anna, Björk og Sunna.
Landbúnaðarnefnd: Dröfn, Erla og Sunna.
Iðnaðarnefnd: Björk, Erla, Hrefna og Jóhanna.
Viðskiptanefnd: Björk, Dröfn og Þóra.

Hver þingkona getur sökum anna bara sótt fund í einni nefnd á dag. Hver er minnsti fjöldi daga sem dugar til að það náist að halda fundi í öllum nefndunum?

Lausn

Nú er Björk í þremur nefndum, Sjávarútvegsnefnd, Iðnaðarnefnd og Viðskiptanefnd, svo fundir þessara nefnda verða að vera hver á sínum deginum. Nú sitja Dröfn, Erla og Sunna í Landbúnaðarnefnd, en hver þeirra situr í einhverri af nefndunum hér að ofan svo Landbúnaðarnefnd getur ekki komið saman á sama degi og fundað er í Sjávarútvegsnefnd, Iðnaðarnefnd eða Viðskiptanefnd. Það þarf þá að minnsta kosti fjóra daga til að halda fundi í þessum fjórum nefndum. Nú situr enginn nefndarmanna bæði í Fjárhagsnefnd og Landbúnaðarnefnd svo unnt er að funda samdægurs í þessum nefndum.

Dæmi 14. Neðra stig 1993-94

Reipi er skorið í tvennt á stað, sem er valinn af handahófi. Hver eru líkindi þess, að lengri búturinn sé að minnsta kosti tvöfalt lengri en sá styttri?

Lausn

Merkjum tvo staði á reipinu þannig að hver partur sé einn þriðji af lengd þess. Þegar við skerum reipið, þá er lengri endinn að minnsta kosti tvöfalt lengri en sá styttri þá og því aðeins að reipið sé ekki skorið á miðpartinum. Við megum því skera reipið hvar sem er á $\frac{2}{3}$ hluta þess. Líkindin eru því $\frac{2}{3}$.

Dæmi 15. Neðra stig 1993-94

Hver er fjöldi sekúndna, sem þrítugur maður hefur lifað? (Setjið kross við töluna, sem er næst réttu svari.)

Lausn

Ef við reiknum með $360$ dögum í ári, þá er fjöldi sekúnda í $30$ árum jafn $$ \begin{aligned} 30\cdot 360\cdot 24\cdot 60\cdot 60 &= 3\cdot 3,6\cdot 2,4\cdot 6\cdot 6\cdot 10^6\\ &= 1,08\cdot 3,6\cdot 2,4\cdot 10^8\\ &\approx 3,6\cdot 2,4\cdot 10^8\\ &= 8,64\cdot 10^8. \end{aligned} $$

Skekkjan sem við fáum í ofangreindan útreikning með því að gera ráð fyrir að það séu 360 dagar í ári er allavega minni en $$ 30\cdot 6\cdot 24\cdot 60\cdot 60=2\cdot 6^5\cdot 10^3\lt 2\cdot 10^4\cdot 10^3=2\cdot 10^7,$$ því $$6^5=2^5\cdot 3^5=32\cdot 9\cdot 9\cdot 3\lt 32\cdot300\lt 10000,$$ og nálgunin sem við gerðum í útreikningunum er minni en $0,1\cdot 8,64\cdot 10^8\lt 1\cdot 10^8$. Skekkjan er því alls minni en $1,2\cdot 10^8$ og svarið okkar því næst því að vera $1$ milljarður.

Dæmi 11. Neðra stig 1993-94

Verktaki segist ljúka ákveðnu verki á þremur dögum með tilteknum fjölda véla. Ef þremur vélum er bætt við lýkur verkinu á tveimur dögum. Hve marga daga þarf hann til þess að ljúka verkinu ef ein vél er notuð?

Lausn

Látum $x$ tákna fjölda véla sem verktakinn þarf til að ljúka verkinu á þremur dögum. Verkið er þá alls $3x$ vélardagsverk. En þegar hann bætir við 3 vélum, þá tekur verkið aðeins tvo daga, svo það er einnig $2(x+3)$ vélardagsverk og því $3x=2(x+3)$. Þá er $x=6$ og því verkið alls $3x=3\cdot 6=18$ vélardagsverk. Það tekur því eina vél $18$ daga að ljúka verkinu.

Dæmi 12. Neðra stig 1993-94

Hver er stuðullinn við $x^{50}$ þegar margfaldað er upp úr $$ (1+x+x^{2}+\cdots+x^{100})(1+x+x^{2}+\cdots+x^{25})? $$

Lausn

Fyrir hvern lið í seinni sviganum fáum við $x^{50}$ nákvæmlega einu sinni þegar við margföldum hann inn í fyrri svigann. Það eru $26$ liðir í seinni sviganum svo stuðullinn við $x^{50}$ er $26$.

Dæmi 13. Neðra stig 1993-94

Á hraðskákmóti eru $13$ keppendur og teflir hver þeirra fjórum sinnum við sérhvern hinna. Þá er fjöldi skáka sem er tefldur jafn

Lausn

Lausn 1: Ef allir keppendur skrá allar sínar skákir, þá skráir hver þeirra $4\cdot 12$ skákir. Alls er þá skráðar $4\cdot12\cdot 13$ skákir á mótinu. En þar sem tveir tefla hverja skák, þá er hver skák skráð tvisvar og fjöldi þeirra því $\frac12\cdot4\cdot 12\cdot 13=312$.

Lausn 2: Röðum keppendunum upp í einfalda röð. Sá fyrsti í röðinni teflir fjórum sinnum við hvern hinna keppendanna svo þar eru $4\cdot 12$ skákir. Þær skákir sem eru enn ótaldar og annar keppandinn í röðinni teflir eru þær sem hann teflir við þá sem eru fyrir aftan hann í röðinni. Þær eru $4\cdot 11$ talsins. Þannig göngum við eftir röðinni, ótaldar skákir sem sá þriðji teflir eru $4\cdot 10$ og svo framvegis. Ótöldu skákirnar sem sá næst síðasti teflir eru þá $4$ og allar skákirnar hafa verið taldar þegar við komum að þeim seinasta. Alls eru þá tefldar $$ 4\cdot (12+11+10+\cdots+1)=4\cdot \frac{(12+1)12}{2}=24\cdot 13=312$$ skákir á mótinu.

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

Dæmi 15. Neðra stig 1994-95

Dæmi 11. Neðra stig 1994-95

Dæmi 12. Neðra stig 1994-95

Dæmi 13. Neðra stig 1994-95

Dæmi 14. Neðra stig 1994-95

Dæmi 14. Neðra stig 1993-94

Dæmi 15. Neðra stig 1993-94

Dæmi 11. Neðra stig 1993-94

Dæmi 12. Neðra stig 1993-94

Dæmi 13. Neðra stig 1993-94

Stærðfræðikeppni framhaldsskólanema

STAK