Skip to Content

Sagt er að vörpun $f: X \to Y$ sé átæk ef myndin $f(X)$ og bakmengið $Y$ eru sama mengið, þ.e. ef $f(X) = Y$. Fyrir sérhverja vörpun $f: X \to Y$ gildir að $f(X)$ er hlutmengi í $Y$, svo til að sýna að $f$ sé átæk nægir að sýna að $Y$ sé líka hlutmengi í $f(X)$. Það er gert með því að sýna að sérhvert stak $y \in Y$ sé gildi vörpunarinnar $f$, þ.e. að fyrir sérhvert $y \in Y$ sé til $x \in X$ þannig að $f(x) = y$.

Venn-myndirnar að neðan sýna tvær varpanir $f: X \to Y$ og $g: Z \to W$. Vörpunin $f$ er átæk því sérhvert stak í $Y$ er gildi vörpunarinnar $f$. Hins vegar er $g$ ekki átæk því til dæmis er stakið lengst til hægri í $W$ ekki gildi vörpunarinnar $g$.

Dæmi:   Vörpunin $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $f(x) = 2 x$ er átæk því fyrir sérhvert $y \in \mathbb{R}$ er $f \left( \frac{y}2 \right) = 2 \cdot \frac{y}2 = y$, þ.e. fyrir sérhvert $y \in \mathbb{R}$ er til stak $x = \frac{y}2 \in \mathbb{R}$ þannig að $f(x) = y$.

Dæmi:   Vörpunin $g: [0, \infty[ \to \mathbb{R}$; $g(x) = \sqrt{x}$ er ekki átæk því ekki er til $x \in [0, \infty[$ þannig að $\sqrt{x} = -1$, þ.e. $-1$ er ekki gildi vörpunarinnar $g$.

Dæmi:   Vörpunin $h: \mathbb{R} \to [0, \infty[$; $h(x) = x^2$ er átæk því fyrir sérhvert $y \in [0, \infty[$ er $h(\sqrt{y}) = (\sqrt{y})^2 = y$, þ.e. fyrir sérhvert $y \in [0, \infty[$ er til stak $x = \sqrt{y} \in \mathbb{R}$ þannig að $h(x) = y$.