Skip to Content

Látum $f: X \to Y$ vera vörpun og $A$ vera hlutmengi í $X$. Mengi allra gilda sem $f$ tekur á menginu $A$ er táknað með $f(A)$ og kallast mynd vörpunarinnar $f$ af menginu $A$. Hana má rita á forminu \[ f(A) = \{f(x) \in Y \mid x \in A\}. \]

Myndina $f(A)$ má einnig skilgreina sem mengi allra $y \in Y$ þannig að jafnan $y = f(x)$ hafi lausn úr $A$ og þannig má rita hana á forminu \[ f(A) = \{y \in Y \mid \text{til er}\; x \in A \;\text{þ.a.}\; y = f(x)\}. \] Venn-myndin að neðan sýnir vörpunina $f: X \to Y$, hlutmengið $A$ í $X$ og mynd þess $f(A)$.

Myndir af sammengjum og sniðmengjum fullnægja eftirfarandi reiknireglum, sem segja að fyrir sérhver hlutmengi $A_1$ og $A_2$ í $X$ gildi:

  • $f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)$.
  • $f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)$.

Ef $A$ er hlutmengi í $X$ og $B$ er hlutmengi í $Y$ fást jafnframt eftirfarandi reiknireglur um samspil mynda og frummynda:

  • $A \subseteq f^{-1}(f(A))$.
  • $f(f^{-1}(B)) \subseteq B$.

Dæmi:   Látum $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$; $f(x) = 2 x$ og finnum mynd $f$ af menginu $\{0,1,2\}$. Nú er $f(0) = 0$, $f(1) = 2$ og $f(2) = 4$, svo \[ f(\{0,1,2\}) = \{f(x) \in \mathbb{R} \mid x \in \{0,1,2\}\} = \{0,2,4\}. \]

Dæmi:   Látum $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $g(x) = x^2$ og finnum mynd $g$ af menginu $\{-3,-2,2,3\}$. Nú er $g(-3) = 9$, $g(-2) = 4$, $g(2) = 4$ og $g(3) = 9$, svo \[ g(\{-3,-2,2,3\}) = \{g(x) \in \mathbb{R} \mid x \in \{-3,-2,2,3\}\} = \{4,9\}. \]