Í þessari grein látum við bókstafina $m$ og $n$ standa fyrir tvær ákveðnar náttúrulegar tölur.
Skilgreining á margföldun
Segjum að við höfum nokkur jafnstór söfn af hlutum, þar sem fjöldi safna er $m$ og fjöldi hluta í hverju safni fyrir sig er $n$. Sameinum síðan innihald allra safnanna í nýtt safn, eins og myndin að neðan sýnir.
Heildarfjöldi hluta í nýja safninu kallast margfeldi talnanna $m$ og $n$, og það er táknað með $m \cdot n$ (lesið: $m$ sinnum $n$).
Það að finna margfeldið $m \cdot n$ kallast að margfalda saman tölurnar $m$ og $n$. Aðgerðin sem felst í því að margfalda saman tölurnar $m$ og $n$ kallast á sama hátt margföldun.
Endurtekin samlagning
Margföldun er hægt að lýsa á einfaldan hátt út frá samlagningu, eins og nú verður sagt frá.
Byrjum á að skoða margfeldið $2 \cdot n$. Samkvæmt skilgreiningunni á margföldun fæst $2 \cdot n$ með því að sameina tvö söfn af $n$ hlutum í nýtt safn og finna heildarfjölda hluta í því, eins og myndin að neðan sýnir.
Ef litið er til skilgreiningarinnar á samlagningu sést að nákvæmlega sama aðferð er notuð til að finna summuna $n+n$. Við sjáum þá að \cdot n$ er sama talan og $n+n$, þ.e.: \[ 2 \cdot n = n + n. \]
Skoðum nú margfeldið $3 \cdot n$. Samkvæmt skilgreiningunni á margföldun fæst $3 \cdot n$ með því að sameina þrjú söfn af $n$ hlutum í nýtt safn og finna heildarfjölda hluta í því, eins og myndin að neðan sýnir.
Þetta er nákvæmlega sama aðferð og notuð er til að finna summuna $n+n+n$. Við sjáum þá að $3 \cdot n$ sama talan og $n+n+n$, þ.e.: \[ 3 \cdot n = n + n + n. \]
Með nákvæmlega sama hætti fáum við:
- $4 \cdot n = n + n + n + n$,
- $5 \cdot n = n + n + n + n + n$,
- $6 \cdot n = n + n + n + n + n + n$, o.s.frv.
Niðurstöður umfjöllunarinnar að ofan getum við tekið saman í eftirfarandi setningu:
Setning:
Margföldun er hægt að túlka sem „endurtekna samlagningu“. Nánar tiltekið er hægt að margfalda saman tölurnar $m$ og $n$ með því að leggja töluna $n$ við sjálfa sig $m$ sinnum: \[ m \cdot n = n + n + \cdots + n \quad (\text{$m$ sinnum}). \]
Margföldunaraðferðir
Nú skulum við skoða nokkrar algengar aðferðir sem hægt er að nota til að draga n frá m.
1. Samkvæmt skilgreiningu
Í fyrsta lagi er hægt að fara beint eftir skilgreiningunni. Þá ímyndum við okkur að við höfum samtals $m$ söfn af $n$ hlutum, til dæmis eplum. Sameinum síðan öll þessi söfn í nýtt safn og finnum fjölda þess.
Dæmi: Margföldum saman tölurnar $5$ og $3$. Þá ímyndum við okkur að við höfum $5$ söfn af appelsínum, þar sem hvert safn inniheldur $3$ appelsínur.
Síðan sameinum við appelsínurnar í nýtt safn og teljum fjölda þeirra, eins og myndin að neðan sýnir.
Þá sjáum við að heildarfjöldi hluta í nýja safninu er $15$.
Samkvæmt skilgreiningu á margföldun þýðir þetta að margfeldi talnanna $5$ og $3$ er $15$, sem skrifa má svona með táknmáli: \[ 5 \cdot 3 = 15. \]
2. Talning
Hugsum okkur að við byrjum að telja eins og venjulega ($1$, $2$, $3$, $4$ o.s.frv.), en að við strikum undir $n$-tu hverja tölu sem við teljum. Fyrsta talan sem við strikum undir er þá einfaldlega $n$. Önnur talan sem við strikum undir er $n+n = 2 \cdot n$, því þá höfum við talið $n$ tölur upp frá $n$. Þriðja talan sem við strikum undir er $n+n+n = 3 \cdot n$, því þá höfum við talið $n$ tölur upp frá $n+n$. Á sama hátt sjáum við:
- Fjórða talan sem við strikum undir $n+n+n+n=4 \cdot n$.
- Fimmta talan sem við strikum undir er $n+n+n+n+n = 5 \cdot n$.
- Sjötta talan sem við strikum undir er $n+n+n+n+n+n = 6 \cdot n$.
Þetta má alhæfa á eftirfarandi hátt: Ef við strikum undir $n$-tu hverju tölu sem við teljum, þá er $m$-ta talan sem við strikum undir einfaldlega talan $m \cdot n$.
Dæmi: Segjum að við ætlum að margfalda $7$ með $8$. Byrjum þá að telja eins og venjulega og strikum undir áttundu hverja tölu sem við teljum.
$1$, | $2$, | $3$, | $4$, | $5$, | $6$, | $7$, | $\underline{8}$, |
$9$, | $10$, | $11$, | $12$, | $13$, | $14$, | $15$, | $\underline{16}$, |
$17$, | $18$, | $19$, | $20$, | $21$, | $22$, | $23$, | $\underline{24}$, |
$25$, | $26$, | $27$, | $28$, | $29$, | $30$, | $31$, | $\underline{32}$, |
$33$, | $34$, | $35$, | $36$, | $37$, | $38$, | $39$, | $\underline{40}$, |
$41$, | $42$, | $43$, | $44$, | $45$, | $46$, | $47$, | $\underline{48}$, |
$49$, | $50$, | $51$, | $52$, | $53$, | $54$, | $55$, | $\underline{56}$, |
Af þessari talningu má fá heilmiklar upplýsingar:
- $2 \cdot 8 = 16$, því $16$ er önnur talan sem við strikuðum undir.
- $3 \cdot 8 = 24$, því $24$ er þriðja talan sem við strikuðum undir.
- $4 \cdot 8 = 32$.
- $5 \cdot 8 = 40$.
- $6 \cdot 8 = 48$.
- $7 \cdot 8 = 56$.
Sér í lagi sjáum við að $7 \cdot 8 = 56$, sem er einmitt það sem við vildum finna.
3. Skref á talnalínu
Hugsum okkur að við byrjum í tölunni $0$ á talnalínunni, og gerum það aftur og aftur að taka $n$ skref áfram. Eftir að hafa gert þetta einu sinni höfum við augljóslega tekið alls $n$ skref. Eftir að hafa gert þetta tvisvar höfum við tekið $n+n = 2 \cdot n$ skref frá $0$, því þá höfum við bætt $n$ skrefum við $n$ skrefin sem við höfðum þegar tekið. Eftir að hafa gert þetta þrisvar höfum við tekið $n+n+n = 3 \cdot n$ skref frá $0$, því þá höfum við bætt $n$ skrefum við $n+n$ skrefin sem við höfðum þegar tekið. Á sama hátt sjáum við:
- Eftir að hafa gert þetta fjórum sinnum höfum við tekið $n+n+n+n=4 \cdot n$ skref frá $0$.
- Eftir að hafa gert þetta fimm sinnum höfum við tekið $n+n+n+n+n=5 \cdot n$ skref frá $0$.
- Eftir að hafa gert þetta sex sinnum höfum við tekið $n+n+n+n+n+n=6 \cdot n$ skref frá $0$.
Þetta má alhæfa á eftirfarandi hátt: Ef við byrjum í $0$ á talnalínunni og gerum það $m$ sinnum að taka $n$ skref áfram, þá höfum við alls tekið $m \cdot n$ skref frá $0$. Vegna þess hvernig talnalínan er uppbyggð endar þetta ferðalag í þeim punkti talnalínunnar sem tilheyrir tölunni $m \cdot n$, svo við getum fundið margfeldi talnanna $m$ og $n$ með því að að skoða hvar við lendum.
Dæmi: Segjum að við ætlum að margfalda $5$ með $3$ með því að nota talnalínuna. Byrjum þá í tölunni $0$ á talnalínunni og stígum $3$ skref áfram fimm sinnum.
Þessi talnalína gefur okkur ýmsar upplýsingar:
- $2 \cdot 3 = 6$, því við lendum í tölunni $6$ eftir að hafa tvisvar tekið $3$ skref áfram.
- $3 \cdot 3 = 9$, því við lendum í tölunn $9$ eftir að hafa þrisvar tekið $3$ skref áfram.
- $4 \cdot 3 = 12$.
- $5 \cdot 3 = 15$.
Sér í lagi sjáum við að $5 \cdot 3 = 15$, sem er einmitt það sem við vildum finna.