Skip to Content

Núllstöð (margliðu)

Látum $P$ vera margliðu yfir talnakerfi $\mathbb{K}$ eins og $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ eða $\mathbb{C}$. Tala $r$ í $\mathbb{K}$, þannig að $P(r)=0$, kallast núllstöð margliðunnar $P$ yfir $\mathbb{K}$. Lausnamengi jöfnunnar $P(x)=0$ í $\mathbb{K}$ kallast núllstöðvamengi margliðunnar í $\mathbb{K}$.

Dæmi:   Margliðan $x^2 - 2$ hefur enga núllstöð yfir $\mathbb{Q}$. Hún hefur hinsvegar núllstöðvarnar $\sqrt{2}$ og $-\sqrt{2}$ yfir $\mathbb{R}$.

Náið samband er á milli núllstöðva margliðu og frumþátta hennar.

Setning:   Tala $r$ er núllstöð margliðu $P$ ef og aðeins ef margliðan $(x - r)$ gengur upp í $P$.

Ef $r$ er núllstöð gefinnar margliðu þá kallast stærsta náttúrulega talan $k$ þannig að $(x - r)^k$ gengur upp í $P$ margfeldni núllstöðvarinnar $r$.

Ekki er til nein almenn aðferð til að finna núllstöðvar hvaða margliðu sem er. Því þarf oft að reiða sig á útsjónarsemi við að finna þær, eða tölulega útreikninga ef annað bregst. Fyrir annars stigs margliður er þó til þægileg formúla fyrir núllstöðvarnar. Slíkar formúlur eru einnig til fyrir þriðja og fjórða stigs margliður, en fræg setning Abels og Ruffinis segir að fyrir margliður af hærra stigi séu engar slíkar almennar formúlur til.

Eftirfarandi setningu má oft nota til að finna ræðar rætur margliðu yfir $\mathbb{Z}$. Hún hjálpar samt ekkert til við að finna rætur sem eru óræðar eða tvinntölur.

Setning:   Látum $P = a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + \;a_{1}x + a_{0}$ vera margliðu yfir $\mathbb{Z}$. Ef $\; \frac{p}{q}$ er fullstytt brot og núllstöð $P$, þá gildir að $p$ gengur upp í $a_{0}$ og $q$ gengur upp í $a_{n}$.

Dæmi:   Margliðan $8 x^3 - 6 x^2 - 5 x + 3$ er yfir $\mathbb{Z}$ og því verða allar ræðar núllstöðvar hennar að vera í menginu \[ \{ \pm 1, \pm \tfrac{1}{2}, \pm \tfrac{1}{4}, \pm \tfrac{1}{8}, \pm \tfrac{3}{2}, \pm \tfrac{3}{4}, \pm \tfrac{3}{8}\}.\] Með því að prófa tölurnar í menginu sést að $-\frac{3}{4}$, $\frac{1}{2}$ og $1$ eru núllstöðvar margliðunnar og hún þáttast því sem \[8 (x + \tfrac{4}{3}) (x - \tfrac{1}{2}) (x - 1).\]