Skip to Content

Látum $l$ og $m$ vera tvær ólíkar línur og $n$ vera þriðju línuna sem sker hinar tvær í tveimur ólíkum punktum. Látum $O$ vera skurðpunkt $n$ við $l$ og $P$ vera skurðpunkt $n$ við $m$.

Þá myndast átta eiginleg horn sem hafa annan arm sinn á línunni $n$ og hinn arm sinn á línunum $l$ eða $m$. Þessi horn hafa oddpunkt $O$ eða $P$. Tvö þessara horna eru sögð vera:

  • einslæg ef þau liggja sömum megin við línuna $n$ og armur annars hornsins liggur á armi hins,

  • utanverð víxlhorn ef þau liggja hvort sínum megin við línuna $n$ og hafa engan sameiginlegan punkt,

  • innanverð víxlhorn ef þau liggja hvort sínum megin við línuna $n$ og strikið $OP$ liggur á örmum beggja hornanna.

Það eru fjögur pör af einslægum hornum, tvö pör af utanverðum víxlhornum og tvö pör af innanverðum víxlhornum.

Dæmi:   Á myndinni sést hvernig línan $n$ sker línurnar $l$ og $m$ í punktunum $O$ og $P$.

  • Rauðu hornin á myndinni eru einslæg horn og grænu hornin eru líka einslæg horn.

  • Rauða hornið með oddpunkt í $O$ er utanvert víxlhorn við græna hornið með oddpunkt í $P$.

  • Græna hornið með oddpunkt í $O$ er innanvert víxlhorn við rauða hornið með oddpunkt í $P$.

Setningin um einslæg horn

Einhver mikilvægasta setning í evklíðskri rúmfræði er eftirfarandi niðurstaða sem oft er kölluð setningin um einslæg horn.

Setning:   Látum $l$ og $m$ vera ólíkar línur.

  • Ef línurnar $l$ og $m$ eru samsíða, þá eru öll einslæg horn við þær jafn stór.

  • Ef einhver einslæg horn við línurnar $l$ og $m$ eru eins, þá eru línurnar samsíða.

Þar sem gagnstæð horn eru jafn stór, þá má einnig orða setninguna um einslæg horn fyrir innanverð eða utanverð víxlhorn. Þannig fæst að:

  • Ef ólíkar línur eru samsíða, þá eru utanverð víxlhorn við þær eins.

  • Ef einhver utanverð víxlhorn við ólíkar línur eru eins, þá eru línurnar samsíða.

  • Ef ólíkar línur eru samsíða, þá eru innanverð víxlhorn við þær eins.

  • Ef einhver innanverð víxlhorn við ólíkar línur eru eins, þá eru línurnar samsíða.

Setninguna um einslæg horn má t.d. nota til að sanna að hornsasumma þríhyrnings er $180^\circ$.