Látum $f: X \to Y$ vera vörpun. Sagt er að $f$ sé andhverfanleg ef til er vörpun $g: Y \to X$ þannig að samskeyting varpananna $f$ og $g$ annars vegar og $g$ og $f$ hins vegar sé viðeigandi samsemdarvörpun, þ.e. \[ g \circ f = \mathrm{id}_X \quad \text{og} \quad f \circ g = \mathrm{id}_Y. \quad (\ast) \]
Ef slík vörpun $g$ er til ákvarðast hún ótvírætt af þessum skilyrðum. Hún kallast þá andhverfa vörpunarinnar $f$ og er yfirleitt táknuð með $f^{-1}$. Vörpun $f: X \to Y$ er andhverfanleg ef og aðeins ef hún er gagntæk.
Skilyrðin tvö í $(\ast)$ að ofan segja með öðrum orðum að fyrir sérhver $x \in X$ og $y \in Y$ gildi að \[ f^{-1}(f(x)) = x \quad \text{og} \quad f(f^{-1}(y)) = y. \] Þetta sýnir að andhverfan $f^{-1}$ hefur einmitt öfuga verkun við $f$, því $f$ varpar stakinu $x \in X$ í stakið $f(x) \in Y$ og $f^{-1}$ varpar stakinu $f(x)$ aftur í upphaflega stakið $x$ skv. fyrri jöfnunni. Sömuleiðis hefur $f$ öfuga verkun við $f^{-1}$, því $f^{-1}$ varpar stakinu $y \in Y$ í stakið $f^{-1}(y) \in X$ og $f$ varpar stakinu $f^{-1}(y)$ aftur í upphaflega stakið $y$ skv. seinni jöfnunni. Áhrifin af því að beita $f$ og $f^{-1}$ hvorri á eftir annarri eru því engin, sem endurspeglast í Venn-myndinni að neðan.
Forskrift andhverfu
Jafnan $f^{-1}(f(x)) = x$ að ofan segir að forskrift andhverfunnar $f^{-1}: Y \to X$ sé gefin með $f^{-1}(y) = x$, þar sem $x$ er það stak úr $X$ sem uppfyllir $y = f(x)$. Til að finna forskrift andhverfunnar þarf því fyrir sérhvert $y$ úr $Y$ að finna það stak $x$ úr $X$ sem uppfyllir $y = f(x)$, þ.e. leysa þarf jöfnuna $y = f(x)$ með tilliti til $x$.
Dæmi: Fallið $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $f(x) = 3x - 2$ er gagntækt og því andhverfanlegt. Forskrift andhverfunnar $f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fæst með því að leysa jöfnuna $y = 3x - 2$ með tilliti til $x$. En $y = 3x - 2$ gefur strax að $3x = y + 2$ og þar með $x = \frac{1}3 y + \frac{2}3$, svo forskriftin er $f^{-1}(y) = \frac{1}3 y + \frac{2}3$.
Dæmi: Fallið $g: [0, \infty[ \to [0, \infty[$; $g(x) = x^2$ er gagntækt og því andhverfanlegt. Forskrift andhverfurfunnar $g^{-1}: [0, \infty[ \to [0, \infty[$ fæst með því að leysa jöfnuna $y = x^2$ með tilliti til $x$. En $y = x^2$ gefur strax að $x = \pm \sqrt{y}$ og þar sem $x \in [0, \infty[$ er ljóst að $x = \sqrt{y}$. Forskriftin er því $g^{-1}(y) = \sqrt{y}$.
Graf andhverfu
Fyrir sérhvert andhverfanlegt fall $f: X \to Y$, þar sem $X$ og $Y$ eru hlutmengi í mengi rauntalna, fæst graf andhverfunnar $f^{-1}: Y \to X$ með því að spegla grafi $f$ um línuna $y = x$.
Dæmi: Fyrri myndin að neðan sýnir graf fallsins $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $f(x) = 3x - 2$ og andhverfu þess $f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$; $f^{-1}(y) = \frac{1}3 y + \frac{2}3$ úr fyrra dæminu að ofan. Seinni myndin sýnir graf fallsins $g: [0, \infty[ \to [0, \infty[$; $g(x) = x^2$ og andhverfu þess $g^{-1}: [0, \infty[ \to [0, \infty[$; $g^{-1}(y) = \sqrt{y}$ úr seinna dæminu að ofan.
Andhverfa samskeytingar
Ef $f: X \to Y$ og $g: Y \to Z$ eru andhverfanlegar varpanir, þá er samskeytingin $g \circ f: X \to Z$ andhverfanleg og andhverfa hennar $(g \circ f)^{-1}: Z \to X$ er gefin með jöfnunni \[ (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}. \]
Venn-myndin að neðan sýnir hvernig jafnan er fengin.