- Jafngild brot
Jöfn brot
Skilgreining:
Látum $\frac{a}b$ og $\frac{c}d$ vera tvö brot. Ef brotin lýsa sömu stærðinni miðað við tiltekna heild, þá segjum við að þau séu jöfn. Þetta táknum við svona: \[ \frac{a}b = \frac{c}d. \]
Dæmi: Látum heildina vera tiltekinn rétthyrning og skoðum brotin $\frac12$ og $\frac24$. Dökka svæðið á efri myndinni hefur stærðina $\frac12$ miðað við heildina, og dökka svæðið á neðri myndinni hefur stærðina $\frac24$ miðað við heildina.
Við sjáum að dökku svæðin tvö eru jafnstór, svo brotin $\frac12$ og $\frac24$ lýsa sömu stærðinni miðað við heildina. Þess vegna eru $\frac12$ og $\frac24$ jöfn brot, og við getum skrifað $\frac12 = \frac24$.
Dæmi: Látum nú heildina vera tiltekinn hring og skoðum brotin $\frac53$ og $\frac{10}6$. Dökka svæðið á efri myndinni hefur stærðina $\frac53$ miðað við heildina, og dökka svæðið á neðri myndinni hefur stærðina $\frac{10}6$ miðað við heildina.
Við sjáum að dökku svæðin tvö eru jafnstór, svo $\frac53$ og $\frac{10}6$ lýsa sömu stærðinni miðað við heildina. Þess vegna eru $\frac53$ og $\frac{10}6$ jöfn brot, og við getum skrifað $\frac53 = \frac{10}6$.
Dæmi: Látum loks heildina vera hóp af $27$ appelsínum. Skiptum henni fyrst í $3$ jafna hluta, eins og myndin að neðan sýnir. Þá er stærð hvers hluta miðað við heildina gefin með $\frac13$.
Sameinum nú tvo af þessum hlutum, eins og myndin að neðan sýnir. Stærð þeirra miðað við heildina er þá $\frac23$.
Skiptum heildinni síðan í $9$ jafna hluta, eins og myndin að neðan sýnir. Þá er stærð hvers hluta miðað við heildina gefin með $\frac19$.
Sameinum nú sex af þessum hlutum, eins og myndin að neðan sýnir. Stærð þeirra miðað við heildina er þá $\frac69$.
Við sjáum að á annarri myndinni að ofan eru $2 \cdot 9 = 18$ appelsínur, og á fjórðu myndinni eru einnig $6 \cdot 3 = 18$ appelsínur. Þar sem jafnmargar appelsínur eru á hvorri mynd lýsa brotin $\frac23$ og $\frac69$ sömu stærðinni miðað við heildina. Þess vegna eru $\frac23$ og $\frac69$ jöfn brot, og við getum skrifað $\frac23 = \frac69$.
Talnalínan
Öllum brotum er komið fyrir á talnalínunni á eftirfarandi hátt:
Lengd striksins milli tölunnar $0$ og brotsins $\frac{a}b$ á talnalínunni er $\frac{a}b$.
Að tvö brot $\frac{a}b$ og $\frac{c}d$ séu jöfn þýðir þess vegna að þau lendi á sama punkti talnalínunnar.
Dæmi: Komum brotunum $\frac{13}4$ og $\frac{26}8$ fyrir á talnalínunni. Til að koma $\frac{13}4$ fyrir skiptum við sérhverju striki milli samliggjandi náttúrulegra talna í $4$ jafna hluta, eins og myndin að neðan sýnir.
Síðan setjum við brotið $\frac{13}4$ á þann punkt sem fæst með því að fara $13$ skref af lengdinni $\frac14$ frá tölunni $0$.
Til að koma $\frac{26}8$ fyrir skiptum við sérhverju striki milli tveggja samliggjandi náttúrulegra talna í $8$ jafna hluta, eins og myndin að neðan sýnir.
Síðan setjum við brotið $\frac{26}8$ á þann punkt sem fæst með því að fara $26$ skref af lengdinni $\frac18$ frá tölunni $0$.
Við sjáum að brotin $\frac{13}4$ og $\frac{26}8$ lenda á sama punkti talnalínunnar. Þetta þýðir að $\frac{13}4$ og $\frac{26}8$ eru jöfn brot, og við getum ritað $\frac{13}4 = \frac{26}8$.