Hugtakasafn

Fjöldatölurnar $0$, $1$, $2$, $3$ o.s.frv. kallast náttúrulegar tölur. Mengi náttúrulegra talna er táknað með $\mathbb{N}$ og það má rita á forminu \[ \mathbb{N} = \{0,1,2,3,\ldots\}. \] Sérhver náttúruleg tala er rauntala og lýsa má skipan náttúrulegu talnanna á talnalínunni með eftirfarandi hætti:

• Talan $0$ svara til upphafspunkts talnalínunnar.
• Talan $1$ svarar til þess punkts á jákvæða hluta talnalínunnar sem er í fjarlægðinni $1$ frá $0$, talan $2$ svarar til þess punkts á jákvæða hlutanum sem er í fjarlægðinni $2$ frá $0$, talan $3$ svarar til þess punkts á jákvæða hlutanum sem er í fjarlægðinni $3$ frá $0$ o.s.frv.

Summa tveggja náttúrulegra talna er alltaf náttúruleg tala. Summu talnanna $n$ og $m$ má túlka á talnalínunni með því að leggja saman strikin $O P_n$ og $O P_m$ eins og myndin að neðan sýnir. Síðan er samanlagða strikið lagt á talnalínuna þannig að annar endapunktur þess sé í upphafspunkti talnalínunnar og hinn endapunkturinn sé á jákvæða hluta hennar. Sú náttúrulega tala sem svarar til seinni endapunkts striksins er þá summa talnanna tveggja.

Margfeldi tveggja náttúrulegra talna er einnig alltaf náttúruleg tala. Margfeldi talnanna $n$ og $m$ má túlka sem summu með því að leggja töluna $m$ $n$-sinnum við sjálfa sig, þ.e. \[ n \cdot m = m + m + \cdots + m \;\; (n \text{ sinnum}). \] Reikningur með náttúrulegar tölur er ófullkominn að því leyti að mismunur og kvóti tveggja náttúrulegra talna þarf ekki að vera náttúruleg tala. Ástæðan er sú að fyrir sérhverja náttúrulega tölu $n \neq 0$ er hvorki samlagningarumhverfan $-n$ né margföldunarumhverfan $\frac1n$ náttúruleg tala.